已知直线C{X=1+tcosa,y=tsina},过作坐标原点O作直线C的垂线，垂足为A,点p为线段OA的中点，当a变化时，求p点

已知直线C{X=1+tcosa,y=tsina},过作坐标原点O作直线C的垂线，垂足为A,点p为线段OA的中点，当a变化时，求p点

答案：圆（X - (1/4)）^2 + Y^2 = 1/16 。（X- 在分式1/4外面）解：参数方程就先消参。当a 不等于 π/2，3π/2时（这里只讨论a在[0, 2π]内变化的情况），y = x*tan(a) - tan(a)，当a = π/2，(x,y) = (1, t)以及 x = 1这条垂直于x轴的直线（t可以取任意数值）；当a = 3π/2，(x,y) = (1, -t)以及 x = 1这条垂直于x轴的直线（t可以取任意数值）；（之所以要讨论这个角度是因为消参的时候分母cosa要不为零才可以）以上两种情况可以合并为一种。下面讨论 y = x*tan(a) - tan(a) 时的情况，A点在其上所以必然满足这个关系。另外，OA的斜率必须是-cot(a)，因为OA垂直于该直线，所以OA的方程为：y = -x*cot(a)，a不等于0，π. 联立两条直线方程，求出A点坐标为：x = tan(a) / (tan(a) + cot(a)), y = -1/ (tan(a) + cot(a))。于是p点坐标为 (tan(a)/ [2(tan(a) + cot(a))], -1/ [2(tan(a) + cot(a))] )，或：Xp = tan(a)/ [2(tan(a) + cot(a))];Yp = -1/ [2(tan(a) + cot(a))].很明显 - Xp/Yp = tan(a)，代入第二个方程后可以解出cot(a) = -1/(2Yp) + Xp/Yp。根据tan(a)cot(a)=1，就有（^2是平方）：- Xp/Yp * [-1/(2Yp) + Xp/Yp] = 1，推出：（Xp - 1/4）^2 + Yp^2 = 1/16，这是一个圆。当a = 0或者π的时候，容易验证直线C就是y = 0即x轴，所以A点和p点都是原点。原点显然满足上述圆方程，而且，当a 不等于 π/2，3π/2时，C即x = 1，所以p (1/2, 0)，代入这个方程也是满足的。所以最终答案为：（X - 1/4）^2 + Y^2 = 1/16 。